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Este sistema se caracteriza por constar de los números del 0 al 8.
Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente hasta obtener cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
A continuación dejo unos Ejemplos de Conversiones entre Bases.
Para convertir un número binario a octal primero debes convertir a números decimales o de base 10 y después a octales, te explico con un ejemplo.
Convertir 10100001011 a octal.
Primero convertir a base 10 o número decimal, esto lo conseguimos multiplicando cada uno de los dígitos de mi número binario con una potencia de 2. El exponente de la potencia lo obtenemos contando los dígitos de derecha a izquierda y empezando por el 0, en este caso tenemos que nuestra máxima potencia es 10. Así que múltiplico el primer dígito que es el 1 por 2^10, el segundo dígito que es 0 por 2^9, así vamos disminuyendo el exponente hasta llegar al final que sería 1 por 2^0. Con esto expresamos de la siguiente forma:
1 * 2^10 = 1 * 1024 = 1024
0 * 2^9 = 0 * 512 = 0
1 * 2^8 = 1 * 256 = 256
0 * 2^7 = 0 * 128 = 0
0 * 2^6 = 0 * 64 = 0
0 * 2^5 = 0 * 32 = 0
0 * 2^4 = 0 * 16 = 0
1 * 2^3 = 1 * 8 = 8
0 * 2^2 = 0 * 4 = 0
1 * 2^1 = 1 * 2 = 2
1 * 2^0 = 1 * 1 = 1
Cabe señalar que todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1; y que todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.
Una vez realizadas las multiplicaciones y las potencias procedemos a sumar los resultados.
1024 + 0 + 256 + 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 1291
Nuestro número buscado es 1291
Ahora procedemos a convertir a octales, para ello dividimos el número entre 8 y al nuevo resultado lo volvemos a dividir entre 8, así sucesivamente hasta que ya no sea posible realizar la división. Es importante obtener los residuos, porque estos nos ayudaran a obtener el número buscado en base 8.
1291 / 8 = 161 y sobran 3
161 / 8 = 20 y sobra 1
20 / 8 = 2 y sobra 4
Como 4 ya nos es divisible entre 8 hasta ahí dejamos las divisiones. Ahora procedemos a anotar el cociente de la última división y los residuos de la última división a la primera, para este caso quedaría así:
2413
donde 2 corresponde al cociente de la última división, 4 al residuo de la última división, 1 al residuo de la penúltima división y 3 al residuo de la primer división.
Así tenemos que:
10100001011 (base 2) = 2413 (base 8)
El caso es similar, primero conviertes base 8 en base 10 y después la base 10 a base 2.
Para convertir de base 8 a 10 usamos las potencias del 8, tal como lo hicimos en el ejemplo anterior usando como mayor exponente el número que resulte de contar de derecha a izquierda y empezando desde 0.
763524700 (base 8)
7 * 8^8 = 7 * 16777216 = 117440512
6 * 8^7 = 6 * 2097152 = 12582912
3 * 8^6 = 3 * 262144 = 786432
5 * 8^5 = 5 * 32768 = 163840
2 * 8^4 = 2 * 4096 = 8192
4 * 8^3 = 4 * 512 = 2048
7 * 8^2 = 7 * 64 = 448
0 * 8^1 = 0 * 8 = 0
0 * 8^0 = 0 * 1 = 0
117440512 + 12582912 + 786432 + 163840 + 8192 + 2048 + 448 = 130984384
Ahora convertimos 130984384 a base 2, dividiendo entre 2 sucesivamente hasta no poder realizar una división más.
130984384 / 2 = 65492192 y sobran 0
65492192 / 2 = 32746096 y sobran 0
32746096 / 2 = 16373048 y sobran 0
16373048 / 2 = 8186524 y sobran 0
8186524 / 2 = 4093262 y sobran 0
4093262 / 2 = 2046631 y sobran 0
2046631 / 2 = 1023315 y sobra 1
1023315 / 2 = 511657 y sobra 1
511657 / 2 = 255828 y sobra 1
255828 / 2 = 127914 y sobra 0
127914 / 2 = 63957 y sobra 0
63957 / 2 = 31978 y sobra 1
31978 / 2 = 15989 y sobra 0
15989 / 2 = 7994 y sobra 1
7994 / 2 = 3997 y sobra 0
3997 / 2 = 1998 y sobra 1
1998 / 2 = 999 y sobra 0
999 / 2 = 499 y sobra 1
499 / 2 = 249 y sobra 1
249 / 2 = 124 y sobra 1
124 / 2 = 62 y sobra 0
62 /2 = 31 y sobra 0
31 / 2 = 15 y sobra 1
15 / 2 = 7 y sobra 1
7 / 2 = 3 y sobra 1
3 / 2 = 1 y sobra 1
Acomodamos nuestros dígitos empezando por la última división y terminando con la primera, obteniendo
11110011101010100111000000 (base 2)
Finalmente decimos que
763524700 (base8) = 11110011101010100111000000 (base 2)
Convertir 10100001011 a octal.
Primero convertir a base 10 o número decimal, esto lo conseguimos multiplicando cada uno de los dígitos de mi número binario con una potencia de 2. El exponente de la potencia lo obtenemos contando los dígitos de derecha a izquierda y empezando por el 0, en este caso tenemos que nuestra máxima potencia es 10. Así que múltiplico el primer dígito que es el 1 por 2^10, el segundo dígito que es 0 por 2^9, así vamos disminuyendo el exponente hasta llegar al final que sería 1 por 2^0. Con esto expresamos de la siguiente forma:
1 * 2^10 = 1 * 1024 = 1024
0 * 2^9 = 0 * 512 = 0
1 * 2^8 = 1 * 256 = 256
0 * 2^7 = 0 * 128 = 0
0 * 2^6 = 0 * 64 = 0
0 * 2^5 = 0 * 32 = 0
0 * 2^4 = 0 * 16 = 0
1 * 2^3 = 1 * 8 = 8
0 * 2^2 = 0 * 4 = 0
1 * 2^1 = 1 * 2 = 2
1 * 2^0 = 1 * 1 = 1
Cabe señalar que todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1; y que todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.
Una vez realizadas las multiplicaciones y las potencias procedemos a sumar los resultados.
1024 + 0 + 256 + 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 1291
Nuestro número buscado es 1291
Ahora procedemos a convertir a octales, para ello dividimos el número entre 8 y al nuevo resultado lo volvemos a dividir entre 8, así sucesivamente hasta que ya no sea posible realizar la división. Es importante obtener los residuos, porque estos nos ayudaran a obtener el número buscado en base 8.
1291 / 8 = 161 y sobran 3
161 / 8 = 20 y sobra 1
20 / 8 = 2 y sobra 4
Como 4 ya nos es divisible entre 8 hasta ahí dejamos las divisiones. Ahora procedemos a anotar el cociente de la última división y los residuos de la última división a la primera, para este caso quedaría así:
2413
donde 2 corresponde al cociente de la última división, 4 al residuo de la última división, 1 al residuo de la penúltima división y 3 al residuo de la primer división.
Así tenemos que:
10100001011 (base 2) = 2413 (base 8)
Para convertir de octal a binario.
El caso es similar, primero conviertes base 8 en base 10 y después la base 10 a base 2.
Para convertir de base 8 a 10 usamos las potencias del 8, tal como lo hicimos en el ejemplo anterior usando como mayor exponente el número que resulte de contar de derecha a izquierda y empezando desde 0.
763524700 (base 8)
7 * 8^8 = 7 * 16777216 = 117440512
6 * 8^7 = 6 * 2097152 = 12582912
3 * 8^6 = 3 * 262144 = 786432
5 * 8^5 = 5 * 32768 = 163840
2 * 8^4 = 2 * 4096 = 8192
4 * 8^3 = 4 * 512 = 2048
7 * 8^2 = 7 * 64 = 448
0 * 8^1 = 0 * 8 = 0
0 * 8^0 = 0 * 1 = 0
117440512 + 12582912 + 786432 + 163840 + 8192 + 2048 + 448 = 130984384
Ahora convertimos 130984384 a base 2, dividiendo entre 2 sucesivamente hasta no poder realizar una división más.
130984384 / 2 = 65492192 y sobran 0
65492192 / 2 = 32746096 y sobran 0
32746096 / 2 = 16373048 y sobran 0
16373048 / 2 = 8186524 y sobran 0
8186524 / 2 = 4093262 y sobran 0
4093262 / 2 = 2046631 y sobran 0
2046631 / 2 = 1023315 y sobra 1
1023315 / 2 = 511657 y sobra 1
511657 / 2 = 255828 y sobra 1
255828 / 2 = 127914 y sobra 0
127914 / 2 = 63957 y sobra 0
63957 / 2 = 31978 y sobra 1
31978 / 2 = 15989 y sobra 0
15989 / 2 = 7994 y sobra 1
7994 / 2 = 3997 y sobra 0
3997 / 2 = 1998 y sobra 1
1998 / 2 = 999 y sobra 0
999 / 2 = 499 y sobra 1
499 / 2 = 249 y sobra 1
249 / 2 = 124 y sobra 1
124 / 2 = 62 y sobra 0
62 /2 = 31 y sobra 0
31 / 2 = 15 y sobra 1
15 / 2 = 7 y sobra 1
7 / 2 = 3 y sobra 1
3 / 2 = 1 y sobra 1
Acomodamos nuestros dígitos empezando por la última división y terminando con la primera, obteniendo
11110011101010100111000000 (base 2)
Finalmente decimos que
763524700 (base8) = 11110011101010100111000000 (base 2)
BINARIO A DECIMAL
En si solo necesitas saber convertir numeros binarios de hasta 3 digitos, por ejemplo:
101
001
110, etc
Para convertir de binario a decimal lo que hacemos es una suma de productos, como asi, observa:
Por ejemplo, el numero binario que tenemos es:
110
Tenemos 3 digitos, lo que hacemos es multiplicar cada digito (comenzando por la derecha) por las potencias de 2, asi:
0 x 2^0 = 0 x 1 = 0
1 x 2^1 = 1 x 2 = 2
1 x 2^2 = 1 x 4 = 4
al sumar nos da 6, que es el numero convertido
otro ejemplo es: 100, lo que nos da:
0 x 1 = 0
0 x 2 = 0
1 x 4 = 4
y el resultado de la conversion es 4
BINARIO A OCTAL
para convertir de binario a octal primero debemos separar el numero binario en cada tres digitos comenzando desde la derecha, por ejemplo:
10100101000101111
Separandolo:
10 100 101 000 101 111
Y comenzamos a aplicar la conversion de binario a decimal a cada grupo:
Por ejemplo para el primero (de la derecha):
1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 4 = 4
Sumando nos da 7
Para el segundo grupo (desde la derecha)
1 x 1 = 1
0 x 2 = 0
1 x 4 = 4
Que sumando nos da 5
Y asi aplicamos a todos los grupos lo que nos daria como resultado: 245057 en sistema octal
DECIMAL A BINARIO
Solo vamos a necesitar convertir numeros decimales del 0 al 7 (explicacion al final)
En un numero binario de 3 cifras vimos que cada cifra o digito debia multiplicarse por una potencia de 2, para ser mas especificos por 1, 2 y 4
Por ejemplo:
1............0...............1 ------> numero binario
4............2...............1 ------> valor por el que multiplicamos
Solo tomamos en cuenta los lugares con numero 1, y los sumabamos, de ahi que la conversion nos daba: 4 + 1 = 5
Entonces para convertir de decimal a binario hacemos lo opuesto, supongamos que lo que queremos convertir es el numero 6, entonces:
4......2.......1 ----> valor por el que multiplicamos
Para llegar a 6, necesitamos sumar 4 y 2, asi que colocamos un 1 en esas posiciones y coocamos 0 en las otras asi:
4......2.......1 ----> valor por el que multiplicamos
1......1.......0 ----> numero binario
Entonces la conversion nos da:
6 en base 10 = 110 en base 2
OCTAL A BINARIO
Para convertir un numero octal a binario aplicamos lo mismo de arriba a cada digito del numero octal, por ejemplo para:
2437 en octal:
Y comenzando por la derecha:
7, que seria 4 + 2 + 1, es decir los tres digitos en 1 = 111
3, que seria.......2 + 1, es decir 011
4, que seria 4..........., es decir 100
2 que seria .......2....., es decir 010
Luego juntamos todos los numeros:
...2.....4.....3......7
010..100..011..111
lo que queda:
2437 en base 8 es = 101000011111 en base 2 (el cero de mas a la derecha no se toma en cuenta)
En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.
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